Hamilton, entre la física y las matemáticas

En 2005 se cumplió el 140º aniversario del fallecimiento del dublinés William Rowan Hamilton (1805-1865), un personaje tan central en la historia de la física y las matemáticas como escasamente conocido. Confiada su educación desde los dos años a un tío suyo, párroco y lingüista de talento, el pequeño William dominaba a los cuatro años y medio el latín el griego y el hebreo. Poco después aprendió francés, italiano, aritmética y geografía, y a los diez años ya era un experto en lenguas orientales. Tras dedicarse al estudio de las ciencias, fue designado Astrónomo Real de Irlanda y profesor del Trinity College de Dublín. En 1835 fue nombrado caballero por el virrey de Irlanda en nombre de la Corona británica, y dos años después alcanzaba la presidencia de la Real Academia Irlandesa de las Ciencias.

En física las ecuaciones del movimiento escritas mediante el método de Hamilton resultan de primer orden en las derivadas (las de Lagrange son de segundo orden), y pueden describir matemáticamente tanto partículas como ondas. Con ello se anticipaba en más de cinco décadas al advenimiento de la teoría cuántica, una de cuyas características distintivas es la célebre dualidad onda-corpúsculo. En el ámbito de la óptica, Hamilton publicó entre 1828 y 1832 un texto sobre sistemas de rayos luminosos y tres suplementos adicionales en los que trataba desde la teoría de las superficies cáusticas a los procesos de refracción cónica.

Pero sus avances en el campo de los números complejos merecerían haberlo encumbrado en la historia científica, aun cuando nada hubiese descubierto sobre mecánica y astronomía. La controvertida cantidad  sirve para resolver ecuaciones del tipo x² + 1 = 0, aun cuando no puede ser definida como un número real. Por ello es posible extender el conjunto de los números reales, R, a otro conjunto C, cuyos elementos se escriben z = a + ib (con a y b reales, pero i² = –1), y se denominan números complejos. Hamilton introdujo la notación de los números complejos como pares ordenados de números reales, cuyas operaciones de producto y cociente seguían reglas propias a diferencia de los reales.

Hamilton se preguntó entonces si también C poseía una extensión que pudiese considerarse como un espacio vectorial de dimensión finita sobre R. La respuesta afirmativa sólo era posible si se renunciaba a alguna de las propiedades aritméticas habituales, como la conmutatividad del producto. En ese caso e llegaba al conjunto de los “cuaterniones”, q = a +bi + cj + dk, cuya dimensión es cuatro (a es la parte escalar y bi + cj + dk es la parte vectorial). Se dice que mientras paseaba por el Canal Real de Dublín a Hamilton se le ocurrieron las reglas algebraicas de sus cuaterniones, algunas de las cuales son: i² = j² = k² = ijk = –1.  Los números complejos pueden concebirse como un subconjunto del conjunto no conmutativo de los cuaterniones.

Hamilton auguró a sus cuaterniones un amplio en física. Pero Maxwell no los empleó profusamente en electromagnetismo, y sus engorrosas peculiaridades de cálculo pronto fueron superadas por las operaciones vectoriales, introducidas por matemáticos como Grassman o físicos como Gibbs y Heaviside.

Los avatares de Hamilton en su vida personal no fueron tan afortunados como en su profesión científica. Su esposa, Helen Bayley -con quien tuvo dos hijos y una hija- no tardó en mostrar que su quebradiza salud y sus escasas dotes organizativas, no estaban a la altura de un hogar donde las múltiples ocupaciones intelectuales y oficiales del esposo apenas permitían contar con él para la intendencia cotidiana. En aquellos últimos y accidentados años, Hamilton careció de toda rutina hogareña que hiciese su vida más agradable, bebía demasiado y vivía en medio del más completo desorden de comidas y papeles. El 2 de septiembre de 1865 murió tras varios meses de dolencias aceleradas por la bebida, dejando una obra monumental de difícil parangón en la historia de la ciencia.